சில பணக்காரர்கள் உயிலை ஒழுங்காக எழுதி வைக்காமல் பிள்ளைகள் சண்டைக்குப் போகும்படி ஆவதைக் கேள்விப்பட்டிருக்கிறோம். பிள்ளைகளே இல்லாமல் பிர்லாக்களே இருந்தாலும் சண்டைதான். ஆனால் இன்று நாம் பேசப் போவது தெளிவாக எழுதி வைத்த உயில் சொல்லும் கதை.
ஒரு பணக்காரர் சம்பாதித்த பணத்தில் பெருமபாலனவற்றை தங்கமாக மாற்றி வைத்து விட்டார். சாகும்போது பார்த்தால் முழுதாக ஒரு கிலோ தங்கம் சேர்த்து விட்டிருந்தார்.
இரண்டு பிள்ளைகளில் பெரிய பையனுக்கு கொஞ்சம் அதிகமாகப் பங்கு கொடுக்க வேண்டும் என்று ஆசைப்பட்டார். அவர் இறந்த பிறகு உயிலை எடுத்துப் படித்துப் பார்த்தார்கள்.
பிரிக்காத சொத்தில் பெரியவனின் பங்கும், பெரியவனின் பங்குக்குப் பின்னவனின் பங்கும், சரியாம் விகிதத்தில் ஆங்கு.
இந்த உயில் பாட்டைப் புரிந்து கொள்வது அப்படியொன்றும் கடினமில்லை. பெரியவனுக்குச் சேர வேண்டிய பங்ககைப் "ப" என்று கொள்வோம். இளையவனுக்கு அப்படியென்றால் (1-ப) கிலோ கிடைக்கும்.
மொத்த சொத்தில் பெரியவனுடைய பங்கு உள்ள விகிதம்: 1/ப.
பெரியவனின் பங்குக்குச் சின்னவனின் பங்கு உள்ள விகிதம்: ப/(1-ப).
இந்த இரண்டும் விகிதமும் ஒன்றாக இருக்கும்படியாக "ப" என்ற பாகத்தைக் கணக்கிட வேண்டும். அதாவது, 1/ப = ப/(1-ப).
தமிழை ஆங்கில எழுத்தாக மாற்றிக் குறுக்காகப் பெருக்கினால் x2+x-1=0 என்று பள்ளியில் படித்த வடிவத்தில் சமன்பாடு கிடைக்கும்.
சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வு கண்டால், >>>ADD IMAGE HERE>>> தோராயமாக 0.618 என்று வரும்.
அதாவது பெரியவனுக்கு 618 கிராம் தங்கம் கொடுத்தால் (இது தோராயம் தான்) அவனுக்கு 61.8 சொத்து கிடைக்கிறது. தம்பிக்குக் கிடைத்த மீதமுள்ள 382ல் கிராம் அண்ணனுடைய பங்கோடு பார்க்கையில் அதே 61.8% சதவீதத்தில் இருப்பதுதான் இந்தப் "பொன் விகிதத்தின்" சிறப்பு. ஆங்கிலத்தில் Golden mean, golden ratio என்றழைக்கப்படும் இது, கிரேக்கக் கட்டிட வடிவமைப்பில் செவ்வகங்களில் நீள, அகல விகிதமாகப் பெரிதும் காணப்படுகிறது. ஐ.நா. சபையில் ஜன்னல்களின் நீள அகலம், நேஷனல் ஜியோகிராபிக்கின் செவ்வகம், விசா கிரெடிட் கார்டு என்று பல இடங்களில் இதே விகிதத்திதைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.
ஓவியர்கள், சிற்பிகள் இவ்விகிதத்தைப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரிகிறது. மைக்கேல் ஏஞ்சலோ செதுக்கிய டேவிட் சிற்பத்தில் முழு உருவத்தின் உயரத்தில், பாதத்திலிருந்து வயிற்றின் மையப்பகுதி வரைக்குமான தூரமும் இதே விகிதத்தில் வருமாறு அமைத்திருக்கிறார்.
கிரேக்கத் தத்துவஞானி பிளாட்டோவிடம் யூடாக்சஸ் என்பவர் இப்பொன்விகிதத்தைப் பற்றிக் கூறியதால் பிளாட்டோ பெருமகிழ்ச்சியடைந்தார் என்று அந்த நிகழ்ச்சியைப் பற்றிய விவரமான வரலாற்றுக் குறிப்புகள் எழுதப்பட்டுள்ளன.
>>>ADD IMAGE HERE>>>
ஓர் அரைவட்டத்தை வரைந்து, அதில் அடங்கக் கூடிய மிகப்பெரிய சதுரத்தை வரைந்தால் விட்டத்தில் சதுரப் பக்கத்தின் பாகமும் மீதமுள்ள பாகமும் இதே விகிதத்திலிருக்குமென்பதை யூடாக்சஸ் அவருக்கு விளக்கினார்.
அதெல்லாம் சரி. இந்த விகிதத்தை அளவுகோலின்றி எப்படி வரைவது?
ஒரு முறை உள்ளது. ஏதேனும் ஓர் சதுரத்தை (ABCD) வரையவும். அதை PQ என்ற கோட்டை வரைந்து நெடுக்காக இரு சமமான செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கவும்.
>>>ADD IMAGE HERE>>>
இச்செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தை (diagonal) அளந்து அதே அளவு (PC) P என்ற புள்ளியிலிருந்து Bயைத் தாண்டி குறிக்கவும். இப்போது ABயும் ARஉம் பொன்விகிதத்தில் அமையும்.
பொன்விகிதத்தைப் பற்றி சற்றே மிகையான கருத்துகள் நிலவி வருகின்றன. வயலின் இசைக்கருவியின் சில அளவுகள், மொசார்ட், பீத்தோவன் இவர்களின் சில இசை நுணுக்கங்கள், பிரமிடுகளில் சில அளவுகள், இவற்றில் இவ்விகிதம் கையாளப்பட்டுள்ளது என்றும், வேறு விகிதத்தில் இருந்தால் இத்தகைய நேர்த்தியும் ஒழுங்கும் கலையம்சத்தில் வந்திருக்காது என்றெல்லாம் மிகையாகக் கூறப்பட்டிருக்கின்றன.
ஆனால் ·பிபொனாச்சி (Fibonacci) என்ற எண் தொடருக்கும் பொன்விகிதத்திற்குமுள்ள தொடர்பு சில இயற்கையான நியதிகளுடன் ஒத்துப் போவது சுவாரசியமானது.
இதைப்பற்றி அடுத்த மாதம் காண்போம்.
வாஞ்சிநாதன் |