எந்த எண்ணையும் நான்கு வர்க்க எண்களின் கூட்டற்பலனாக அமைக்க முடியும் என்பதை இக்கட்டுரையின் முதற் பகுதியில் சென்ற மாதம் குறிப்பிட்டிருந்தேன். அதாவது 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... என்ற வர்க்கத் தொடர்களிலிருந்து பொருத்தமாக நான்கு எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்து எந்த எண்ணையும் அவற்றின் கூட்டல் தொகையாக அமைக்க முடியும் (ஒரே எண்ணை மீண்டும் மீண்டும், ஆனால் நான்கு முறைக்குள், பயன்படுத்தலாம்).
இதைத்தான் ரூபாய் நோட்டுகளை வர்க்க மதிப்புகளில் அச்சடித்தால் எந்தத் தொகை யையும் நான்கு நோட்டுகளாக அளிக்க முடியும் என்று குறிப்பிட்டிருந்தேன்.
இது நடைமுறைக்கு ஏற்றதா என்பதை விவாதிக்கலாம்.
பத்து லட்சம் = 1000 ஒ 1000.
எனவே ஆயிரத்திற்கு மேற்பட்ட எண் ணின் வர்க்கம் 10 லட்சத்தைத் தாண்டி விடும். எனவே 1இல் தொடங்கி 1000 வரையிலான எல்லா எண்களின் வர்க்க அளவின் மதிப்புள்ள நோட்டுகளை அச்சடித்தால் பத்து லட்சம் வரையுள்ள எல்லா தொகையையும் நான்கு நோட்டு களாகக் கொடுக்க முடியும். ஆனால் சிக்கல் எதில் வருமென்று பார்த்தால், எந்த நான்கு நோட்டுகள் என்று கண்டுபிடிப்பதில்தான்!
லட்சக்கணக்கில் போகாமல் சிறியதாக 658 என்ற எண்ணை கவனிப்போம். அதனருகே 625 என்ற 25-ன் வர்க்கம். மீதமுள்ள 33-ஐ இரண்டு 16-களாகவும் ஒரு ஒன்றாகவும் பிரித்து 4 வர்க்கங்களை அடையலாம்.
658=625+16+16+1=252+42+42+1.
இதை அடிப்படையாக வைத்துக் கொண்டு 659-ஐ 4 வர்க்கங்களாக அடைய முடியுமா என்று காண்போம். இப்போது 625-உடன் இரண்டு 16-களைச் சேர்த்துக் கொண்டால் மீதமுள்ள 2 ஒரு வர்க்கமாகாது. எனவே நிறைய மாற்ற வேண்டும்:
ஆனால் 659 = 625+25+9 = 252+52+32. மூன்றே வர்க்கங்களில் முடிந்துவிட்டது.
ஒரு எண்ணின் 4 வர்க்கப் பிரிவுகளை அறிவதன் மூலம் அதன் அடுத்த எண்ணின் 4 வர்க்கப் பிரிவுகளை கணிக்க முடியாது. இதுதான் இங்கேயுள்ள பெரிய சிக்கல். தசம முறையின் எளிமை இதில் இல்லை.
அதோடு ஆயிரம் வகையான நோட்டுகளை வைத்துக் கொள்வதே ஒரு பெரும்பாடு. யாராவது கள்ள நோட்டை அடித்து இடைச் செருகியிருந்தால் அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நிறையத் திறமை வேண்டும்.
சரி நாம் பயன்படுத்தும் தசம எண் முறை எப்படி? இதில் நாம் எந்த எண்ணையும் வர்க்கங்களாகப் பிரிக்காமல், எத்தனை ஒன்றுகள், எத்தனை பத்துகள் எத்தனை நூறுகள், என்ற அடிப்படையில் பிரித்து எழுதுகிறோம். இவையெல்லாம் பத்தின் அடுக்குகள், மடங்குகளல்ல. (Powers of 10, not multiples of them).
நாம் இதுவரை விவாதித்த முறை 0, 1, 4, 9, 16, 25, ... என்ற வர்க்கத் தொடர்களில் வரும் எண்களைக் கொண்டு மற்ற எண் களை எழுதுவது.
புழங்கப்படும் முறையான தசம முறை என்பது 1, 10, 100, 1000, ... என்ற 10-இன் அடுக்குகளால் எந்த எண்ணையும் எழுது வது. சற்றே கூர்ந்து நோக்கினால், அடுக்கு கள் மிகவும் தள்ளித் தள்ளி வருகின்றன. எந்த வர்க்கத்தையும் 4ஆல் பெருக்க மற்றோர் வர்க்கம் கிடைக்கிறது.
(x+1)2 = x2+2x+1 என்ற சூத்திரத்தின் படி எந்த xஇன் வர்க்கத்துக்கு அடுத்த வர்க்கம் 2x+1 தூரத்தில்தான் உள்ளது
ஆனால் 10-இன் அடுக்குகளோ 10-ஆல் பெருக்கும் போதுதான் அடுத்தது கிடைக் கிறது. எனவே எந்த எண்ணையும் தசம முறையில் எழுத வரையறைக்குட்பட்ட பாகங்கள் போதுமானதாக இருக்காது.
ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களைக் கூட்டினால் என்ன எண் வருகிறதோ அத்தனை பாகங்கள் தேவைப்படும். எனவேதான் நம் வீட்டுக் குழந்தையைக் கடத்திச் சென்றால் நமக்கு ஒரு பெரிய கஷ்டம் நேரிடுகிறது.
கடத்தல்காரனுக்குத் தேவையான லட்சங் களை ஒரு பெட்டி நிறைய திணித்து அதைச் சுமந்து செல்வது என்றால் சும்மாவா?
இப்போது மீண்டும் வர்க்க முறையின் நன்மையைக் கூறிவிடுகிறேன். எந்த நான்கு வர்க்கங்கள் என்று கண்டறிவதில் பெரிய சிக்கல் இருந்தாலும், கொடுக்கப்பட்ட தொகையைச் சரியா என்று பார்ப்பதற்கு நான்கு எண்களைக் கூட்டினால் போதும். தசம முறையிலே பணத்தை எண்ணுவதே, கட்டை வாகாக அடுக்கிக் கொண்டு பரபரவென்று தள்ளுவதே ஒரு கலையாக இருக்கிறது. (சுவையான கலையாகவும் இருக்கிறது. சில வங்கிக் காசாளர்கள் பணத்தை எண்ணும் போது பணத்தைத் தொட்ட விரலை அவ்வப்போது நாக்கில் வைத்து ருசி பார்க்கிறார்களே!)
பணம் அடிப்பதை விட்டுவிடுவோம். அதெல்லாம் வெறும் சுவாரசியத்திற்கான கதை. தசம முறைக்கும் வர்க்க முறைக்கும் மற்றோர் வேறுபாடு உள்ளது. எந்த எண்ணையும் 1-கள் 10-கள், 100-கள், ... இவற்றின் கூட்டற்பலனாக எழுத ஒரே ஒரு வழியில்தான் முடியும். அதாவது 125ஐ 125 ஒன்றுகளாகளோ, அல்லது 12 பத்துகள், ஐந்து 1-கள் என்று விரயமாக எழுதும் முறையைத் தவிர்த்து 1 நூறு, 2 பத்து, 5 ஒன்று என்று எழுதும் முறையில், ஒரே வழிதான் இருக்கிறது.
ஆனால் வர்க்க அடிப்படையில் என்ன ஆகிறது என்று கவனிப்போம்.
95 = 49+36+9+1
= 81+9+4+1
= 36+25+25+9
தலையைச் சுற்றுகிறதா? நிர்வாகவியலில் ஒவ்வொரு ஒவ்வோர் சிக்கலையும் நிர்வாகி களுக்கு ஓர் வாய்ப்பு (every problem is an opportunity) என்று சொல்வார்கள். கணிதவியலாரும், இப்படிப் பல வழிகள் இருப்பதைக் குழப்பமாகக் கருதாமல் எத்தனை வழிகள் இருக்கின்றன என்ப தற்குச் சூத்திரம் இருக்கிறதா என்று சிந்திப்பார்கள்.
இது ஒரு புதிய ஆராய்ச்சிக்குரிய கேள்வி. இதற்கான விடை எளிதல்ல. 36 = 62 என்றும், (-6)2 என்றும் இரு விதமாகக் கருதியும், வரிசையை மாற்றி எழுதுவதை வேறு விதமாகக் கருதியும் எண்ணினால் மொத்தம் எத்தனை வழிகள் உள்ளன என்பதை விளக்க முடியும்.
அதாவது
10 = 32+12 = 32+ (-1)2 = 12+(-3)2
என்பதையெல்லாம் தனித்தனி வழியாகக் கொண்டால், இந்த அடிப்படையில் நான்கு வர்க்கங்களாக அமையும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கு வேறோர் "சூத்திரம்" உள்ளது. அதற்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் காரணிகளைப் (factors or divisors) பட்டியலிட்டு அவற்றிலிருந்து நான்கோ, அல்லது நான்கின் மடங்குகளோ இருந்தால் அவற்றை நீக்கிவிட வேண்டும். எஞ்சியுள்ள காரணிகளைக் கூட்டி அதை எட்டால் பெருக்க வரும் விடை தான் ஒரு எண்ணை நான்கு வர்க்கங்களாகப் பிரிக்கும் வகைகளின் எண்ணிக்கை. (நான்குக்குக் குறைவான வர்க்கங்களுக்குள் அமைந்தால் பூஜ்யத்தை ஒரு முறையோ அல்லது அதற்கு மேலோ சேர்த்துக் கணக்கிட வேண்டும்)
இப்போது 10 இன் காரணிகள்: 1, 2, 5, 10. இதில் நீக்கும்படியாக நான்கின் மடங்குகள் ஏதுமில்லை. எனவே எல்லா வற்றையும் கூட்டிவிட வேண்டியதுதான்: 1+2+5+10 = 18. இதை எட்டால் பெருக்க 144 கிடைக்கும். எனவே 10 என்ற எண்ணை 144 வெவ்வேறு வழிகளில் நான்கு வர்க்கங்களின் கூட்டல் தொகையாக எழுதலாம்!
இதைச் சோதித்துச் சரிபார்க்க நீங்கள் தயாரா?
ஒரு கோடியை நான்கு நோட்டுகளாக கொண்டுவரும் முறை:
20002 + 20002 + 10002 + 10002
வாஞ்சிநாதன் |